N.B. IL seguente ordine degli argomenti non corrisponde necessariamente all'ordine nel quale tali argomenti saranno trattati durante il corso.

0. LOGICA PROPOSIZIONALE, INSIEMI, FUNZIONI E STRUTTURE ALGEBRICHE (BREVE INTRODUZIONE)
Cenni di logica proposizionale. Richiami di teoria degli insiemi. Insiemi numerici e principio di induzione. Funzioni. Gruppi anelli e campi.

1. IL CAMPO DEI NUMERI COMPLESSI
Radici di -1. Rappresentazione algebrica. Piano di Gauss, rappresentazione cartesiana. Rappresentazione trigonometrica o polare, teorema di de Moivre. Rappresentazione esponenziale. Teorema fondamentale dell'algebra.

3. SPAZI VETTORIALI
Spazi vettoriali su un campo. Sistemi di generatori. Indipendenza lineare. Teorema di Steinitz (dello scambio). Basi. Dimensione. Sottospazi e operazioni.

4. APPLICAZIONI LINEARI
Definizione, nucleo, immagine. Rango. Invertibilità. Matrice di un'applicazione lineare. Cambio di basi.

5. ALGEBRA DELLE MATRICI
Definizioni e operazioni: somma, riscalalmento e prodotto. Matrici e applicazioni lineari. Rango di una matrice. Matrici quadrate. Invertibilità.

6. SISTEMI LINEARI
Definizioni. Equazione matriciale AX=B. Sistemi e applicazioni lineari. Sistemi omogenei. Risoluzione di sistemi lineari. Algoritmo di Gauss. Teorema di Rouché-Capelli. Struttura dello spazio delle soluzioni.

7. IL DETERMINANTE
Definizione. Determinante come funzione multilineare alternante e che vale 1 sull'identità. Proprietà del determinante. Primo e secondo teorema di Laplace. Teorema di Binet. Determinante, rango e invertibilità.
Regola di Cramer. Prodotto vettoriale in R^3.

8. SPAZI EUCLIDEI
Prodotti scalari. Norma e distanza. Prodotto scalare standard in R^3; teorema del prodotto scalare. Ortogonalità. Basi ortonormali, ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Isometrie.

9. AUTOVALORI, AUTOVETTORI E DIAGONALIZZAZIONE
Autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità. Ricerca degli autovalori. Endomorfismi e diagonalizzabilità. Diagonalizzabilità mediante matrci ortogonali. Teorema spettrale reale.

10. GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO E NELLO SPAZIO
Spazi affini. Equazioni cartesiane e parametriche. Rette nel piano. Rette e piani in R^3. Sfere in R^n.

11. ARGOMENTI COMPLEMENTARI (da trattare a seconda del tempo a disposizione e delle necessità)
Spazi duali. Decomposizione a valori singolari. Sistemi dinamici discreti.
Forme quadratiche. Coniche come luoghi geometrici e loro classificazione. Quadriche, definizioni e classificazione. Teorema di Cayley-Hamilton. Forma canonica di Jordan. Prodotti hermitiani e teorema spettrale complesso.