Il filo conduttore è il concetto di funzione e il suo ruolo nella modellizzazione matematica di fenomeni naturali, arrivando a introdurre i fondamenti del calcolo differenziale e integrale e a comprenderne l'applicazione allo sviluppo del calcolo delle probabilità. Sommario argomenti trattati nel corso. Definizione di insieme. Operazioni tra insiemi. Definizione di funzione. Operazioni tra funzioni. Proprietà delle funzioni potenza, esponenziale e logaritmo. Cenni alle funzioni trigonometriche. Definizione di Algebra e di σ-Algebra di Insiemi. La σ-Algebra di Borel. Definizione di Spazio Misurabile (Ω, ℱ). Funzioni misurabili. Definizione di fenomeno aleatorio, di esito di un fenomeno aleatorio. Definizione di evento associato ad un fenomeno aleatorio come unione, intersezione, negazione di suoi esiti. Operazioni tra eventi. Definizione di Misura di Probabilità e di Spazio di Probabilità (Ω, ℱ, Ƥ) secondo Kolmogorov. La formula di Bayes. Eventi indipendenti. Definizione euristica di Limite. Definizione puntuale di funzione continua e di funzione derivabile. Interpretazione geometrica della continuità e della derivabilità su un intervallo. Definizione di Variabile Aleatoria. La Funzione di ripartizione. Sua rappresentazione mediante la funzione massa di probabilità di una V.A. discreta. Sua rappresentazione mediante la funzione densità di probabilità di una V.A. continua: l’integrale di Lebesgue. Teorema della Media Integrale. Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (TFCI). Formula Fondamentale del Calcolo Integrale (FFCI). Distribuzioni: Bernoulli. Binomiale. Poison. Uniforme. Gaussiana o Normale. Chi quadro. T di Student. F di Fisher. Cauchy. Gamma. Standardizzazione di una v.a. Studio della monotonia e della convessità di una funzione derivabile. Massimi, minimi e flessi. Problema di Minimo: la determinazione dei coefficienti della retta di regressione campionaria. Il Metodo dei Minimi Quadrati. La funzione Generatrice dei Momenti di una v.a. Teorema di Unicità della funzione Generatrice dei Momenti. Il valore atteso e il cambio di variabile. Proprietà del valore atteso. La varianza, la deviazione standard, la skewness, la kurtosis di una v.a. Definizione di Vettore Aleatorio. Distribuzione congiunta. Distribuzioni Marginali. Distribuzione condizionata.
Vettori Aleatori Gaussiani. Vettori Aleatori Indipendenti. Vettori Aleatori Correlati. Matrici Simmetriche. Autovalori e Autovettori. Matrici Semi-definite positive. Matrici Diagonalizzabili. Teorema Spettrale. Matrice di Covarianza. Matrice di Correlazione Empirica. Momenti di un vettore aleatorio. La distribuzione della Media Campionaria di un Vettore Aleatorio Gaussiano. La distribuzione della Media Campionaria di un Vettore Aleatorio non Gaussiano. La Legge dei Grandi Numeri. Il Teorema del Limite Centrale. Il caso della varianza campionaria quando la media μ è nota. Media e Varianza della Varianza Campionaria. Sua distribuzione. Il caso della varianza campionaria corretta quando la media μ è sconosciuta. Media e Varianza della
Varianza Campionaria Corretta. Sua distribuzione.