GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE
L'esame consiste in una prova scritta con domande teoriche a cui rispondere ed esercizi da risolvere. Durante il semestre in cui si svolgono le lezioni, sono previste alcune prove in itinere FACOLTATIVE E NON RIPETIBILI il cui eventuale esito positivo contribuisce alla valutazione finale.
L'insegnamento si propone di fornire allo studente i principi fondamentali dell'algebra lineare e le applicazioni di tali principi nei campi della geometria analitica e dei sistemi dinamici discreti.
Ci attende:
- la comprensione delle proprietà essenziali della geometria analitica nello spazio
- la comprensione dei rudimenti della teoria degli spazi vettoriali
- la capacità di lavorare con le matrici
- la capacità di risolvere sistemi lineari di equazioni
- la capacità di applicare i concetti appropriati dell'algebra lineare alla modellazione e alla soluzione di problemi di altra natura
N.B. IL seguente ordine degli argomenti non corrisponde necessariamente all'ordine nel quale tali argomenti saranno trattati durante il corso.
0. LOGICA PROPOSIZIONALE, INSIEMI, FUNZIONI E STRUTTURE ALGEBRICHE (BREVE INTRODUZIONE)
Cenni di logica proposizionale. Richiami di teoria degli insiemi. Insiemi numerici e principio di induzione. Funzioni. Gruppi anelli e campi.
1. IL CAMPO DEI NUMERI COMPLESSI
Radici di -1. Rappresentazione algebrica. Piano di Gauss, rappresentazione cartesiana. Rappresentazione trigonometrica o polare, teorema di de Moivre. Rappresentazione esponenziale. Teorema fondamentale dell'algebra.
3. SPAZI VETTORIALI
Spazi vettoriali su un campo. Sistemi di generatori. Indipendenza lineare. Teorema di Steinitz (dello scambio). Basi. Dimensione. Sottospazi e operazioni.
4. APPLICAZIONI LINEARI
Definizione, nucleo, immagine. Rango. Invertibilità. Matrice di un'applicazione lineare. Cambio di basi.
5. ALGEBRA DELLE MATRICI
Definizioni e operazioni: somma, riscalalmento e prodotto. Matrici e applicazioni lineari. Rango di una matrice. Matrici quadrate. Invertibilità.
6. SISTEMI LINEARI
Definizioni. Equazione matriciale AX=B. Sistemi e applicazioni lineari. Sistemi omogenei. Risoluzione di sistemi lineari. Algoritmo di Gauss. Teorema di Rouché-Capelli. Struttura dello spazio delle soluzioni.
7. IL DETERMINANTE
Definizione. Determinante come funzione multilineare alternante e che vale 1 sull'identità. Proprietà del determinante. Primo e secondo teorema di Laplace. Teorema di Binet. Determinante, rango e invertibilità.
Regola di Cramer. Prodotto vettoriale in R^3.
8. SPAZI EUCLIDEI
Prodotti scalari. Norma e distanza. Prodotto scalare standard in R^3; teorema del prodotto scalare. Ortogonalità. Basi ortonormali, ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Isometrie.
9. AUTOVALORI, AUTOVETTORI E DIAGONALIZZAZIONE
Autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità. Ricerca degli autovalori. Endomorfismi e diagonalizzabilità. Diagonalizzabilità mediante matrci ortogonali. Teorema spettrale reale.
10. GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO E NELLO SPAZIO
Spazi affini. Equazioni cartesiane e parametriche. Rette nel piano. Rette e piani in R^3. Sfere in R^n.
11. ARGOMENTI COMPLEMENTARI (da trattare a seconda del tempo a disposizione e delle necessità)
Spazi duali. Decomposizione a valori singolari. Sistemi dinamici discreti.
Forme quadratiche. Coniche come luoghi geometrici e loro classificazione. Quadriche, definizioni e classificazione. Teorema di Cayley-Hamilton. Forma canonica di Jordan. Prodotti hermitiani e teorema spettrale complesso.
TEORIA ED ESERCIZI
- Alessandro Gimigliano; Alessandra Bernardi, Algebra lineare e geometria analitica, Editore: CittàStudi http://www.cittastudi.it/catalogo/scienze/algebra-lineare-e-geometria-an...
- Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio. Esercizi risolti di Geometria e Algebra. Rilasciata con licenza Creative Commons. disponibile all'indirizzo http://smmm.unipv.it/didattica/GeoAlg/book_ex.pdf
o da richiedere al docente
ALTRI TESTI CONSIGLIATI IN SOSTITUZIONE O COMPLEMENTO
-E. Schlesinger, Algebra lineare e geometria, Zanichelli
- S. Lang. Algebra lineare. Bollati Boringhieri
-D.C. Lay, S.R. Lay, J.J. MacDonald. Linear algebra and its applications. Pearson
-M. Abate, C. De Fabritiis, Geometria analitica
con elementi di algebra lineare. McGraw-Hill Education
Il corso si articola in lezioni ed esercitazioni frontali, tenute dal docente. Sono inoltre previste lezioni pratiche in cui lo studente, sotto la guida del docente, affronta in prima persona la soluzione di problemi riguardanti gli argomenti del corso.
- Durante le lezioni saranno forniti ulteriori esercizi sugli argomenti trattati.
- La prova finale e le eventuali prove intermedie possono essere sostenute in una delle seguenti lingue, previa richiesta al docente: Inglese, Francese, Spagnolo
- Il ricevimento studenti si terrà i giorni in cui ci sono le lezioni, alla fine delle stesse, oppure per appuntamento via mail.